Расчет нагрузки

Тяга к знаниям — она как «старость», в самый неожиданный момент может настичь любого. Вот и мы, застигнутые врасплох, протянули ручки к знаниям. Хотя все «изучали» в школе физику, но по жизни простейшая задачка вызывает ступор. Наша цель — понять возможности перераспределения нагрузок на оси тягача и полуприцепа при изменении расположения груза в полуприцепе. И применение этого знания на практике.

В рассматриваемой нами системе есть 3 объекта: тягач \((T)(T)\), полуприцеп \((p.p.)(p.p.)\) и груз \((gr)(gr)\). Все переменные, относящиеся к каждому из этих объектов, будут маркироваться верхним индексом \(T\), \(p.p.\) и \(gr\) соответственно. Например, собственная масса тягача будет обозначаться как \(m^T\). В рамках настоящей задачи мы упростим все векторные выражения до обычных скалярных уравнений.

Все объекты мы будем рассматривать в системе отсчёта, в которой ось \(X\) направлена горизонтально, ось \(Y\) — вертикально, а начало отсчёта совпадает с передней осью тягача (см.Рис.1). При таком выборе проекции всех сил, действующих на тягач, полуприцеп и груз, на ось \(X\) равны \(0\) (поскольку все эти силы перпендикулярны оси \(X\)). А проекции всех сил на ось \(Y\) — равны по модулю величине этой силы, а знак зависит от направления действия силы (если направление совпадает с направлением оси, то знак плюс, если не совпадает — минус). То есть если где-либо в тексте встречается символ \(\vec{F}\), значит речь идёт о силе — векторной величине. Если же в уравнении встречается символ \(F\), то речь идёт о величине проекции силы \(\vec{F}\) на ось \(Y\). Это скалярная величина.

Все уравнения, описывающие наши объекты, относятся к тем моментам, когда они либо находятся в состоянии покоя, либо двигаются равномерно и прямолинейно (с точки зрения классической механики эти состояния описываются одними и теми же уравнениями и, находясь внутри системы, невозможно понять, покоится ли она или двигается равномерно и прямолинейно). В эти моменты сумма всех сил, действующих на каждый из рассматриваемых объектов, равна нулю. А также сумма всех моментов сил, действующих на каждый из объектов, равна нулю.

Наша задача не привязана к какому-либо конкретному типу тягачей, полуприцепов и грузов. Поэтому все формулы будут предоставлены в общем виде. Однако, поскольку нашей целью не является получение абстрактных формул и решение систем уравнений, а мы хотим решить практические вопросы, то величины, которые могут быть измерены на практике, будут полагаться известными. Кроме того, мы будем рассматривать двуосный тягач и одноосный полуприцеп. В нулевом приближении при увеличении количества осей у тягача и/или полуприцепа нагрузка на каждую ось уменьшается пропорционально. Т.е. если мы получим, что нагрузка на одну ось составляет 10 тонн, то замена одной оси на 2 приведёт к тому, что нагрузка на каждую из осей будет составлять 5 тонн. Если практические измерения покажут неприменимость такого подхода, при котором нагрузка делится между осями поровну, то необходимо будет уточнить и дополнить модель.

Рассмотрение системы из 3-х объектов будем проводить последовательно, т.е. сначала рассмотрим один тягач, затем добавим к нему полуприцеп, после чего добавим груз и посмотрим, как можно оптимизировать нагрузку на оси тягача и полуприцепа, изменяя положение груза в полуприцепе.

1. Тягач

Любая задача в механике начинается с рисунка, на котором отмечены все важные в контексте задачи геометрические размеры; силы, действующие на объекты; а также указана система отсчета, в которой мы пишем все уравнения.

Рисунок 1.

В данном случае рис.1 показывает, что на тягач действуют 3 силы: сила тяжести \(m^T \cdot \vec{g}\), а также силы реакции опоры \(\vec{N^T_{1,0}}\) и \(\vec{N^T_{2,0}}\) . Дополнительный индекс «\(0\)» показывает, что речь идёт о случае, когда к тягачу не присоединён полуприцеп. Итак, условие, что сумма всех сил, действующих на тело равна нулю, приводит нас к уравнению:

\begin{align} N^T_{1,0} + N^T_{2,0} - m^T \cdot g = 0 \end{align}

(1.1)

Обратите внимание, что у всех переменных «пропали» стрелочки. Это связано с тем, что уравнение записано не для самих сил — векторныx величин, а для их проекции на ось \(Y\), т.е. для скалярных величин.

Что даёт нам уравнение (1.1) с практической точки зрения? Если мы знаем массу тягача и нагрузку на его заднюю ось в неснаряженном состоянии (обозначенную как \(\vec{N^T_{2,0}}\)), то нагрузку на его переднюю ось можно вычислить на основании уравнения (1.1):

\begin{align} N^T_{1,0} = m^T \cdot g - N^T_{2,0} \end{align}

(1.1.1)

Рассмотрим ось, проходящую через переднюю ось грузовика (и направленную, как мы договаривались ранее, перпендикулярно плоскости рисунка). Сумма всех моментов сил действующих на тело, равна \(0\). Это следует из того, что раз грузовик находится в состоянии покоя (а он очевидно находится в состоянии покоя, см. также замечание относительно состояния покоя и равномерного прямолинейного движения во вступлении), то он не вращается вокруг любой выбранной оси. Значит он не вращается в том числе вокруг оси, проходящей через переднюю ось грузовика. Это даёт нам уравнение:

\begin{align} m^T \cdot g \cdot X^T_{c.t.} - N^T_{2,0} \cdot L^T = 0 \end{align}

(1.2)

Как можно применить формулу (1.3) на практике?

Для этого рассмотрим тягач Mercedes Actros 1841.

  • вес тягача — 8180 кг.
  • нагрузка на переднюю ось — 5700 кг.
  • нагрузка на заднюю ось — 2480 кг.

Данные взяты не из бумажек, измерения проводились на реальном пункте взвешивания — на весах. В баке было 500 литров дизельного топлива. Расстояние между осями нашего тягача Mercedes Actros 1841 — 3600 мм. Чтобы корректно подставить эти значения в формулу (1.3) обсудим сначала вопрос о размерности физических величин.

Масса — скалярная величина, измеряется в килограммах. Сила — векторная величина, измеряется в Ньютонах.

Пример: на горизонтальной поверхности лежит кирпич массой \(10kg\). При этом модуль силы \(\vec{F}\), с которой он давит на эту поверхность, равен \(100H\).

Ускорение свободного падения \(g=9,81m/s^2\). Считаем Для простоты считаем, что \(g=10m/s^2\):

\begin{align} F = m \cdot g = 10kg \cdot 10\frac{m}{s^2} = 100 \frac{kg \cdot m}{s^2} = 100H \end{align}

Таким образом, мы видим, что сила однозначно связана с массой, и в принципе, нам всё равно, в чём измерять силу — в Ньютонах или в килограммах — это вопрос договорённости. Когда речь идёт о нагрузке, которую оказывает автомобиль на дорогу, общепринятой единицей измерения этой нагрузки являются килограммы. В формулу (1.3) входит отношение нагрузки на заднюю ось к весу тягача. Вес (по определению) это сила, с которой тело давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес. Таким образом, вес — это сила. Но раз мы договорились о том, что все силы мы измеряем не в Ньютонах (как мы все привыкли со школы), а в килограммах, то и вес тягача мы выражаем в килограммах. Т.е. от веса переходим к массе.

Итак, давайте рассчитаем расстояние от передней оси тягача Mercedes Actros 1841 по формуле (1.3) с учётом рассуждений о единицах измерения:

\begin{align} X^T_{c.t.} = L^T \cdot \frac{N^T_{2,0}}{m^T \cdot g} = 3600 mm \cdot \frac{2480 kg}{8180 kg} = 1091 kg \end{align}

Все рассуждения о нагрузке, которая измеряется в килограммах, будут применяться и в дальнейшем при практическом применении выведенных формул. См., например, вычисление центра тяжести полуприцепа по формуле (2.4).

2. Тягач с полуприцепом

Если к тягачу, рассмотренному ранее, присоединён полуприцеп без груза, то нагрузка на его оси изменяется.

Рисунок 2.

Рассмотрим рис.2. Мы можем записать по отдельности для тягача и полуприцепа оба условия равновесия. Необходимо отметить, что положение центра тяжести тягача, вычисленное согласно (1.3), не изменится после присоединения полуприцепа.

\begin{align} N^T_{1,1} + N^T_{2,1} - m^T \cdot g - N^T_{p.p.} = 0 \end{align}

(2.1)

Где \(\vec{N^T_{p.p.}}\) — сила, с которой полуприцеп «давит» на тягач. Согласно 3-му закону Ньютона тягач в свою очередь, «давит» на полуприцеп с силой, равной по модулю \(\vec{N^T_{p.p.}}\) и противоположной ей по направлению, т.е.

\begin{align} \vec{N^T_{p.p.}} = -\vec{N^{p.p.}_T} \end{align}

Что даёт нам уравнение (2.1) с практической точки зрения? Если мы, зная массу тягача, измерим нагрузку на его переднюю и заднюю оси при присоединении пустого полуприцепа, то используя уравнение (2.1) мы можем вычислить силу, с которой пустой полуприцеп «давит» на тягач:

\begin{align} N^T_{p.p.} = N^T_{1,1} + N^T_{2,1} - m^T \cdot g \end{align}

(2.2)

Рассмотрим теперь полуприцеп.

Для того чтобы определить, где находится центр тяжести полуприцепа (это важно — мы ищем положение центра тяжести именно самого полуприцепа, а не системы «тягач+пустой полуприцеп»), запишем условие равенства моментов сил, действующих на полуприцеп, относительно оси, проходящей через заднюю ось полуприцепа:

\begin{align} X^{p.p.}_{c.t.} \cdot m^{p.p.} \cdot g - N_0 \cdot L^{p.p.} = 0 \end{align}

(2.3)

Где \(X^{p.p.}_{c.t.}\) — расстояние от задней оси полуприцепа до центра тяжести, а \(L^{p.p.}\) — расстояние между задней осью полуприцепа и местом сцепки полуприцепа с тягачом (эта точка на тягаче называется — седло), а N0N0 — модуль силы, полученной из уравнения (2.2). Из уравнения (2.3) можно вывести формулу для расчёта величины \(X^{p.p.}_{c.t.}\):

\begin{align} X^{p.p.}_{c.t.} = \frac{N_0 \cdot L^{p.p.}}{m^{p.p.} \cdot g} \end{align}

(2.4)

Эта формула пригодится нам в дальнейшем при рассмотрении груза, находящегося в полуприцепе. Также мы можем вычислить нагрузку на ось полуприцепа (считаем что ось на полуприцепе одна) по следующей формуле:

\begin{align} N^{p.p.}_1 = m^{p.p.} \cdot g - N_0 \end{align}

(2.5)

Рассмотрим тягач Mercedes Actros с полуприцепом. Масса пустого автопоезда составляет (5900 + 3560 + 1760 + 1800 + 1560) = 14580 кг., следовательно масса полуприцепа (14580 - 8180) кг = 6400 кг.

Полуприцеп трёхосный, но в рамках оговоренной ранее методики мы считаем нагрузку на каждую ось одинаковой. Посмотрим, к каким результатам нас это приведёт. Рассчитаем по формуле (2.2) силу взаимодействия тягача и полуприцепа, сила с которой полуприцеп давит на «седло» тягача:

\begin{align} N^T_{p.p.} = N_0 = 5900kg + 3560kg − 8180kg = 1280kg \end{align}

Подставим теперь полученную величину в формулы (2.4) и (2.5):

\begin{align} X^{p.p.}_{c.t.} = L^{p.p.} \cdot \frac{N_0}{m^{p.p.} \cdot g} = (1310mm + 6400mm) \cdot \frac{1280kg}{6400kg} = 1542mm \end{align}

\begin{align} N^{p.p.}_1 = 6400kg − 1280kg = 5120kg \end{align}

Если теперь мы хотим рассчитать нагрузку на каждую из осей, то общую нагрузку необходимо поделить на 3 (т.к. у полуприцепа 3 оси). Полученный результат можно показать при помощи следующей таблицы:

Номер оси Расчётная нагрузка, кг Реальная нагрузка, кг Отклонение расчёта от реального значения, кг
1 1706,7 1760 -53,3
2 1706,7 1800 -93,3
3 1706,7 1560 146,7
Итого 5120,0 5120 0

3. Тягач с полуприцепом и грузом

Перейдём теперь к рассмотрению общего случая, когда в полуприцепе находится груз. Теперь мы должны на основании рассчитанных ранее характеристик грузовика и полуприцепа выяснить, как будут распределяться нагрузки на оси при различном положении груза. При этом необходимо сделать следующую оговорку: мы будем предполагать, что рама полуприцепа является идеально жесткой, не деформируется при наличии груза и распределяет нагрузку равномерно на каждый метр своей длины. Т.е. истории, подобные той, что описана на сайте в разделе страшных рассказов, выходят за рамки текущей задачи.

Рисунок 3.

Итак, запишем условие равенства сил, и моментов сил, действующих на тягач:

\begin{align} N_1 + N_2 - m^T \cdot g - N = 0 \end{align}

\begin{align} m^T \cdot g \cdot X^T_{c.t.} + N \cdot l_1 - N_2 \cdot L^T = 0 \end{align}

(3.1)

(3.2)

где \(N_1, N_2\) — нагрузка на переднюю и заднюю ось тягача, соответственно, \(N\) — сила, с которой полуприцеп в месте сцепки (называется – седло) «давит» на тягач, \(l_1\) — расстояние от передней оси тягача до точки сцепки с полуприцепом.

Теперь запишем аналогичную пару уравнений для полуприцепа, при этом условие равенства моментов сил будем рассматривать относительно задней оси полуприцепа.

Итак, запишем условие равенства сил, и моментов сил, действующих на тягач:

\begin{align} N + N_3 - (m^{p.p.} + m^{gr}) \cdot g = 0 \end{align}

\begin{align} m^{gr} \cdot g \cdot a + m^{p.p.} \cdot g \cdot X^{p.p.}_{c.t.} - N \cdot L^{p.p.} = 0 \end{align}

(3.3)

(3.4)

где \(L^{p.p.}\) — расстояние от задней оси полуприцепа до места сцепки с тягачом, \(a\) — расстояние от задней оси тягача до центра тяжести груза. Именно этот параметр, характеризующий расположение груза в полуприцепе, мы будем в дальнейшем варьировать, чтобы выяснить, как он влияет на распределение нагрузки между осями тягача и полуприцепа.

Из уравнения (3.4) мы можем вычислить величину \(N\), после чего, зная \(N\), из уравнения (3.3) мы сможем вычислить \(N_3\), из (3.2) вычислим \(N_2\) и из (3.1) — \(N_1\). Итак:

\begin{align} N = \frac{m^{gr} \cdot g \cdot a + m^{p.p.} \cdot g \cdot X^{p.p.}_{c.t.}}{L^{p.p.}} \end{align}

\begin{align} N_3 = (m^{gr} + m^{p.p.}) \cdot g - N \end{align}

\begin{align} N_2 = \frac{m^T \cdot g \cdot X^T_{c.t.} + N \cdot l_1}{L_T} \end{align}

\begin{align} N_1 = m^T \cdot g + N - N_2 \end{align}

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Как мы видим, в формулу для расчёта величины \(N\) входит параметр aa, а величина NN в свою очередь входит в формулу для расчёта нагрузки на каждую из осей. Таким образом, варьируя параметр aa, мы можем менять нагрузку на оси.

4. Что нужно для расчета нагрузок на оси грузового автопоезда

Итак, любая модель подразумевает в первую очередь набор исходных данных; переменную величину, изменяющееся значение которой влияет на результаты; алгоритм расчёта и результат.

Что нам необходимо в качестве исходных данных?

Нужно геометрическое описание тягача и полуприцепа:

\(L_T\) — расстояние между осями тягача;

\(l_1\) — расстояние от передней оси тягача до точки сцепки с полуприцепом;

\(L^{p.p.}\) — расстояние от задней оси полуприцепа до места сцепки с тягачом.

Необходимо знать распределение нагрузки на оси тягача без полуприцепа:

\(N^T_{1,0}\) — нагрузка на переднюю ось тягача;

\(N^T_{2,0}\) — нагрузка на заднюю ось тягача.

Необходимо знать распределение нагрузки на оси тягача при присоединении полуприцепа без груза:

\(N^T_{1,1}\) — нагрузка на переднюю ось тягача;

\(N^T_{2,1}\) — нагрузка на заднюю ось тягача.

В этом случае мы можем вычислить положение центра тяжести тягача и полуприцепа согласно формулам (1.3) и (2.4). После чего, задавшись параметром aa можем написать расчётные формулы для нагрузки на оси тягача и полуприцепа при перевозке груза. Если необходимо рассмотреть более сложный случай, когда в полуприцепе находится не один груз, а несколько, то параметр aa в свою очередь является расчётной величиной, и рассчитывается по следующей формуле:

\begin{align} a = \frac{m^{gr}_1 \cdot x_1 + m^{gr}_2 \cdot c_2 + \cdot\cdot\cdot + m^{gr}_k \cdot x_k}{m^{gr}_1 + m^{gr}_2 + \cdot\cdot\cdot + m^{gr}_k} \end{align}

где \(m^{gr}_i\) — масса \(i\)-го груза, и \(x_i\) — расстояние от центра тяжести \(i\)-го груза до задней оси полуприцепа.

Если каждый груз представляет из себя коробку, внутри которой вес распределен равномерно, то центр тяжести находится на середине ширины коробки. В данном случае шириной мы называем геометрический размер стороны коробки, параллельный борту полуприцепа.

5. О распределении нагрузки на задние оси полуприцепа

Ранее было сделано предположение о том, что нагрузка на задние оси полуприцепа распределяется равномерно. Это предположение приводит к расхождению теоретических расчётов с экспериментальными результатами. Причём пренебречь этими расхождениями мы не можем, поскольку они превышают точность измерений на статических весах в пунктах весового контроля. Для учёта неравномерной нагрузки можно применить несколько различных подходов:

  • Первый подход заключается в механическом подборе коэффициентов распределения нагрузки.
  • Второй подход заключается в ослаблении исходного предположения о равномерном распределении нагрузки. Мы можем предположить, например, что в случае 3-осного полуприцепа нагрузки на первые две оси равны между собой.
  • Третий подход заключается в исследовании такой модели полуприцепа, где нагрузка на оси будет неравномерной в силу самой природы этой модели.

Ослабление исходной модели.

Рассмотрим пустой полуприцеп. Уравнение (2.5) позволяет вычислить суммарную нагрузку на оси полуприцепа. Если мы обозначим через \(\vec{n_1}\) нагрузку на первую ось полуприцепа, \(\vec{n_2}\) — на вторую и \(\vec{n_3}\) — на третью, то мы можем написать, что сумма нагрузок на каждую ось равна суммарной нагрузке:

\begin{align} \vec{n_1} + \vec{n_2} + \vec{n_3} = N^{p.p.}_1 \end{align}

(4.1)

Если теперь мы обозначим через \(r_1\) расстояние между первой и второй осями полуприцепа, \(r_2\) — между второй и третьей, то мы можем записать уравнение для моментов сил, действующих на полуприцеп относительно точки сцепки:

\begin{align} n_1 \cdot (L^{p.p.} - r_1) + n_2 \cdot L^{p.p.} + n_3 \cdot (L^{p.p.} + r_2) - (L^{p.p.} - X^{p.p.}_{c.t.}) \cdot m^{p.p.} \cdot g = 0 \end{align}

(4.2)

Где \(X^{p.p.}_{c.t.}\) — расстояние от средней оси полуприцепа до центра тяжести полуприцепа.

Предположим теперь, что нагрузка на первую и вторую ось полуприцепа равны, т.е.

\begin{align} \vec{n_1} = \vec{n_2} \end{align}

(4.2)

Давайте проверим, к чему нас это предположение приведёт. Уравнения (4.1), (4.2) принимают вид:

\begin{align} 2 \cdot \vec{n_1} + \vec{n_3} = N^{p.p}_1 \end{align}

\begin{align} n_1 \cdot (2 \cdot L^{p.p.} - r_1) + n_3 \cdot (L^{p.p.} + r_2) - (L^{p.p.} - X^{p.p.}_{c.t.}) \cdot m^{p.p.} \cdot g = 0 \end{align}

(4.1*)

(4.2*)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: \(n_1\), \(n_3\). Решение этой системы выглядит следующим образом:

\begin{align} n_1 = \frac{N^{p.p.}_1 \cdot (L^{p.p.} + r_2) - (L^{p.p.} - X^{p.p.}_{c.t.}) \cdot m^{p.p.} \cdot g}{r_1 + 2 \cdot r_2} \end{align}

\begin{align} n_3 = N^{p.p.}_1 - 2 \cdot n_1 \end{align}

Подставим в эти формулы реальные данные:

\begin{align} n_1 = \frac{5120kg \cdot (7510 mm + 1310 mm)−(7510 mm−1542 mm) \cdot 6400 kg}{1310 mm + 2 \cdot 1310 mm} = \frac{45158400kg \cdot mm − 38195200kg \cdot mm}{3930 mm} = 1772kg \end{align}

\begin{align} n_3 = 5120kg − 2 \cdot 1772kg = 1576kg \end{align}